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2020陕西省考资料分析备考：浅谈容斥问题
容斥问题对于大多数考生来说并不陌生，在高中数学中我们就有所接触。严格意义上来讲容斥问题是一种计数方式：是在先不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理可分为二集合容斥和三集合容斥。下面我们根据陕西考情，由易到难分别对两种情况予以介绍，重点讲解标准型公式法。
考点一：两集合容斥问题
两集合容斥问题是最基本的容斥问题。解决两集合容斥一般采用公式法以及画图法。
(一)公式法
两集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。一般情况下，都可以使用公式法进行计算。
【例1】某班共有42名同学，喜欢读小说的有25人，喜欢读诗歌的有30人，既喜欢读小说又喜欢读诗歌的同学最少有多少人?( )
A.8 B.9
C.10 D.11
E.12 F.13
G.14 H.15
【答案】F
【解析】
本题出现了“既…又”，等同于“两者都”。设两者都喜欢的人数为x，两者都不喜欢的人数为y，根据两集合容斥原理公式，得25+30-x=42-y，解得x=13+y，x取得最小值的前提是y=0，此时x=13。
因此，选择F选项。
(二)画图法
当二集合容斥问题的题干中出现“只”满足或者“仅”满足某一个条件，且用公式法无法解决时，我们用画图法解题。具体将每一个数字标在对应的区域内，由内向外标记。
考点二：三集合容斥问题
三集合容斥问题是陕西省考比较偏爱的题型，比二集合容斥问题出现频率更高一些，需要引起考生的高度重视。同样解决三集合容斥问题一般采用公式法以及画图法。
(一)公式法
三集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数+满足条件C的情况数-同时满足AB的情况数-同时满足AC的情况数-同时满足BC的情况数+同时满足ABC的情况数=总的情况数-三者都不满足的情况数。一般情况下，都可以使用公式法进行计算。
【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有( )种。
A.14 B.15
C.16 D.17
E.18 F.19
G.20 H.21
【答案】E
【解析】
根据题干，本题属于最基本三集合容斥问题，直接代公式进行计算。设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18。
因此，选择E选项。
(二)画图法
当三集合容斥问题的题干中出现“只”满足或者“仅”满足某一个条件，且用公式法无法解决时，我们用画图法解题。具体将每一个数字标在对应的区域内，由内而外的标记，同二集合画图法一致。
【例2】在一项课题研究中，数据搜集方式有问卷调研、当面访谈与电话访谈三种。参加问卷调研的有27人，参加电话访谈的有21人。参加了三种数据搜集方式的有5人，既参加问卷调研又参加当面访谈的有9人，既参加问卷调研又参加电话访谈的有12人，既参加当面访谈又参加电话访谈的有7人。已知只参加当面访谈的人数占数据搜集人员总数的20%，则数据搜集人员共有( )人。
A.45 B.50
C.55 D.60
E.65 F.70
G.75 H.80
【答案】A
【解析】
根据题意，出现“只”参加当面访谈的人数，用画图法解题。设“只”参加当面访谈的人数为x人，则数据搜集人员为5x人。用画图法解题，如下图所示：
列式得：27+21-(12-5)-5+x=5x，解得x=9，则5x=45。
因此，选择A选项。
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