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多集合容斥问题
西安分校 刘航
在数量关系考试中，有一种看似特别难的问题——多集合容斥问题，什么是多集合容斥问题呢?当问题中出现“至少……都……”或者“都……至少……”这样的字眼时，那么它就是一个多集合容斥问题，很多同学看到这种题目就懵了，感觉无从下手，但只要掌握了方法，这种题就会变得特别简单，解决这种问题的方法叫：反向、加和、做差。这种方式怎么用呢，举例子如下：
现在某小组有5个人，其中4个人喜好读诗，4个人喜好画画，4个人喜好发呆，问这个小组至少有多少人以上三个活动都喜欢?
题目中出现了“至少……都……”这样的字眼，这是一个多集合容斥问题，那么使用反向、加和、做差这种方法。
第一步反向，因为题目正面不好解，那么我们从反面来考虑，问“至少……都……”，那咱们来看看至多多少人不都喜欢这三个活动的，一共只有5个人，其中4个人喜好读诗，4个人喜好画画，4个人喜好发呆，那么我们可以推出这5个人中，1个不喜欢读诗，1个不喜欢画画，1个不喜欢发呆，要让都喜好的人数最少，那不喜欢的人数应尽肯能的多，怎么做不喜欢的人数最多呢?就是让不喜欢的人都不重复，也就是说1个不喜欢读诗的人，1个不喜欢画画的人，1个不喜欢发呆的人，这三者不能是同一个人，而且是不同的三个人，这样才能让“至少……都喜欢……”的人数最少。
第二步加和，因为1个不喜欢读诗的人，1个不喜欢画画的人，1个不喜欢发呆的人，是不同的三个人，那把他们加起来，则不都喜欢这三个活动的有3个人。
第三步做差，用总的人数减去不都喜欢的人数等于都喜好的人数，5-3=2，那么最少有2个人以上三个活动都喜欢。
接下来看两道具体的例题。
【例1】某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【答案】A。
【解析】问题中出现了“至少……都……”的字样，这是个多集合容斥问题，那么使用反向、加和、做差的方法。第一步反向，某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，那么可以推出这46人，其中11人不爱好戏剧，16人不爱好体育，8人不爱好写作，6人不爱好收藏;第二步加和，把不爱好的人数加起来，11+16+8+6=41;第三步做差用46-41=5，所以选择A项。
【例2】某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少?( )
A.40% B.30%
C.20% D.10%
【答案】C。
【解析】问题中出现了“都……至少……”，这是个多集合容斥问题，那么使用反向、加和、做差的方法。第一步反向，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，那么可以推出第一次没得90分以上的学生为30%，第二次是25%，第三次是15%，第四次是10%;第二步加和，把没得90分以上的都加起来，30%+25%+15%+10%=80%;第三步做差，1-80%=20%，所以答案选择C项。
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