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方程法—不定方程
陕西分校 田哲铭
上次带领大家一起学习了方程法当中的“定方程”，这次我们来研究关于不定方程的有关问题。所谓不定方程，曾经有一位老师戏称其为“搞不定的方程”，即
未知数的个数多于方程的个数
公务员考试题目当中有很多此种类型的题目，那么在解决此类问题的时候有什么方法呢?
我们先来通过一些例题了解一下：
例1【2012-国家】某儿童艺术培训中心有5名钢琴老师和6名拉丁舞老师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每位教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A.36 B.37 C.39 D.41
解析：设每位钢琴老师带X名学员，每位拉丁舞老师带Y名学员，根据题目中的关系得出5X+6Y=76。(只有一个方程，但是含有两个未知数，是不定方程问题)我们观察这个方程中的3个元素，76是偶数，6Y是偶数，根据奇偶特性，我们可知5X是偶数，X必然为偶数。题干中要求每位老师所带的学员数是质数，既是质数又是偶数的只有2，即X=2，带入得Y=11。那么目前培训中心的学员数为4*2+3*11=41人，选D。
本题运用数字特性求解不定方程。
例2【2019-联考】某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖?
A.3B.4
C.5D.6
解析：设一、二、三等奖的获奖职工人数分别为X、Y、Z人，根据题意可以得到X+Y+Z=10;9X+5Y+2Z=61。将第一个式子左右两边同时乘以2，两式相减可以得到7X+3Y=41，题干最后问最多有几位选手获得一等奖，将选项从大到小依次带入，当X=5时符合题意，选C。
本题是将不定方程组化成不定方程而后运用代入思想将选项代入求得正确答案。
一个工程师加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时?
A.42.5B.45
C.47.5D.50
E.52.5F.55
G.57.5H.60
通过以上3道例题我们知道在解决不定方程类问题的具体方法有两类：
1、运用代入思想，将选项作为已知量，看是否满足题意(即便陕西省8选项，亦可使用代入法求解)。
2、数字特性法。一般运用数字特性的时候先考虑奇偶性，倍数特性次之，尾数法最后。
在考虑用数字特性时考虑未知数的系数:(1)系数为偶数时，运用奇偶性;(2)系数为3时，考虑运用倍数特性;(3)系数为5的倍数时，运用尾数法。
3、“赋零法”：三元方程，最终求解包含三个未知数的“整体”形式，实战中最快速的解题方法便是将其中任意一个未知数赋值为零，转化为二元一次方程组直接求解。
熟练掌握这3种方法，不论是不定方程还是不定方程组(化为不定方程)都可以轻松求解。
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